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polinomios
Polinomio
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En matemáticas un polinomio es una expresión que se construye por una o más variables, usando solamente las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y exponentes numéricos positivos.
es un polinomio.
Debe mencionarse en particular que la división por una expresión que contiene una variable no es un polinomio sino una función racional.
Por extensión las funciones polinómicas son las funciones que surgen de evaluar los polinomios sobre las variables en las que están definidos. Son una clase importante de funciones suaves, esto es, son infinitamente diferenciables (tienen derivadas de todos los órdenes finitos).
Debido a su estructura simple, los polinomios son muy sencillos de evaluar, y se usan ampliamente en análisis numérico para interpolación polinómica o para integrar numéricamente funciones más complejas. Una manera muy eficiente para evaluar polinomios es la utilización de la regla de Horner.
En álgebra lineal el polinomio característico de una matriz cuadrada codifica muchas propiedades importantes de la matriz. En teoría de los grafos el polinomio cromático de un grafo codifica las distintas maneras de colorear los vértices del grafo usando x colores.
Con el desarrollo de la computadora, los polinomios han sido remplazados por funciones spline en muchas áreas del análisis numérico. Las splines se definen a partir de polinomios y tienen mayor flexibilidad que los polinomios ordinarios cuando definen funciones simples y suaves. Éstas son usadas en interpolación spline y gráficos por ordenador.
martes, 10 de junio de 2008
numeros primos
numeros primos
¿Cuántos números primos existen? [editar]Existen infinitos números primos. Euclides realizó la primera demostración alrededor del año 300 a. C. Otros matemáticos han demostrado la infinitud de los números primos con métodos diversos, contandose entre ellos Algebra Conmutativa y Topología.
A pesar de que sabemos que hay infinitos números primos, aún quedan preguntas en el aire sobre procedimientos exactos para saber con certeza si un número determinado es primo o no en tiempo computacionalmente bajo.
Un procedimiento empleado para hallar todos los números primos menores que un entero dado es el de la criba de Eratóstenes. Además, se sabe que no hay límite para la distancia entre dos primos consecutivos; para ver esto basta notar que para n entero positivo en el conjunto
consta de n números consecutivos y no hay numeros primos entre ellos, pues sus elementos son divisibles por respectivamente.
Si nos preguntamos por la cantidad de primos bajo una cierta cantidad dada se conocen resultados satisfactorios. Denotando por π(x) la cantidad de primos hasta x se tiene que
donde, como es usual en Teoría de Números, log denota el logaritmo natural. Este es el Teorema del Número Primo en su versión mas sencilla, pero su demostración no es trivial.
Hasta hoy se mantienen abiertos numerosos problemas relativos a la distribución y frecuencia de aparición de los primos y de algunas familias particulares de estos. Por ejemplo, se conjetura que existen infinitos números primos de la forma p1=p2 + 2 (siendo p1 y p2 primos) o primos gemelos.
Propiedades de los números primos [editar]Si p es un número primo y divisor del producto de números enteros ab, entonces p es divisor de a o de b. (Lema de Euclides)
Si p es primo y a es algún número natural diferente de 1, entonces ap − a es divisible por p (Pequeño Teorema de Fermat).
Un número p es primo si y solo si el factorial (p − 1)! + 1 es divisible por p. (Teorema de Wilson).
Si n es un número natural, entonces siempre existe un número primo p tal que . (Postulado de Bertrand)
En toda progresión aritmética , donde los enteros positivos son primos entre sí, existen infinitos números primos. (Teorema de Dirichlet).
El número de primos menores que un x dado sigue una función asintótica a (Teorema de los números primos).
El anillo Z/nZ es un cuerpo si y solo si n es primo. Equivalentemente: n es primo si y solo si φ(n) = n − 1.
¿Cuántos números primos existen? [editar]Existen infinitos números primos. Euclides realizó la primera demostración alrededor del año 300 a. C. Otros matemáticos han demostrado la infinitud de los números primos con métodos diversos, contandose entre ellos Algebra Conmutativa y Topología.
A pesar de que sabemos que hay infinitos números primos, aún quedan preguntas en el aire sobre procedimientos exactos para saber con certeza si un número determinado es primo o no en tiempo computacionalmente bajo.
Un procedimiento empleado para hallar todos los números primos menores que un entero dado es el de la criba de Eratóstenes. Además, se sabe que no hay límite para la distancia entre dos primos consecutivos; para ver esto basta notar que para n entero positivo en el conjunto
consta de n números consecutivos y no hay numeros primos entre ellos, pues sus elementos son divisibles por respectivamente.
Si nos preguntamos por la cantidad de primos bajo una cierta cantidad dada se conocen resultados satisfactorios. Denotando por π(x) la cantidad de primos hasta x se tiene que
donde, como es usual en Teoría de Números, log denota el logaritmo natural. Este es el Teorema del Número Primo en su versión mas sencilla, pero su demostración no es trivial.
Hasta hoy se mantienen abiertos numerosos problemas relativos a la distribución y frecuencia de aparición de los primos y de algunas familias particulares de estos. Por ejemplo, se conjetura que existen infinitos números primos de la forma p1=p2 + 2 (siendo p1 y p2 primos) o primos gemelos.
Propiedades de los números primos [editar]Si p es un número primo y divisor del producto de números enteros ab, entonces p es divisor de a o de b. (Lema de Euclides)
Si p es primo y a es algún número natural diferente de 1, entonces ap − a es divisible por p (Pequeño Teorema de Fermat).
Un número p es primo si y solo si el factorial (p − 1)! + 1 es divisible por p. (Teorema de Wilson).
Si n es un número natural, entonces siempre existe un número primo p tal que . (Postulado de Bertrand)
En toda progresión aritmética , donde los enteros positivos son primos entre sí, existen infinitos números primos. (Teorema de Dirichlet).
El número de primos menores que un x dado sigue una función asintótica a (Teorema de los números primos).
El anillo Z/nZ es un cuerpo si y solo si n es primo. Equivalentemente: n es primo si y solo si φ(n) = n − 1.
matematicas 2prt
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matematicas 2prt
Un número natural es compuesto si tiene más de dos divisores distintos. También lo podemos definir como aquel número natural que es mayor que 1 y no es primo. Todo número compuesto puedo descomponerse de forma única como producto de números primos.
Los números naturales se dividen en racionales e irracionales y los racionales se dividen en enteros y estos se dividen en positivos y negativos.
Los 20 primeros números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30 y 32.
Una característica de los números compuestos es que pueden escribirse como producto de dos enteros positivos menores que él. Así, el número 20 es compuesto porque puede expresarse como 4 x 5; y también el 87 ya que se expresa como 3 x 29. Sin embargo, no es posible hacer lo mismo con el 17 ó el 23 porque son números primos.
El número compuesto más pequeño es el 4 y no hay ninguno que sea mayor que todos los demás; hay infinitos números compuestos.
La forma más sencilla de demostrar que un número n es compuesto, es encontrar un divisor d comprendido entre 1 y n (1 < d < n). Por ejemplo, 219 es compuesto porque tiene a 3 por divisor. Y también 371 porque tiene a 7 por divisor. Sin embargo, este método deja de ser efectivo para números que son producto de primos grandes. Una buena alternativa es utilizar entonces el pequeño teorema de Fermat, o mejor la generalización de este teorema debida al matemático suizo Leonhard Euler
matematicas 2prt
Un número natural es compuesto si tiene más de dos divisores distintos. También lo podemos definir como aquel número natural que es mayor que 1 y no es primo. Todo número compuesto puedo descomponerse de forma única como producto de números primos.
Los números naturales se dividen en racionales e irracionales y los racionales se dividen en enteros y estos se dividen en positivos y negativos.
Los 20 primeros números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30 y 32.
Una característica de los números compuestos es que pueden escribirse como producto de dos enteros positivos menores que él. Así, el número 20 es compuesto porque puede expresarse como 4 x 5; y también el 87 ya que se expresa como 3 x 29. Sin embargo, no es posible hacer lo mismo con el 17 ó el 23 porque son números primos.
El número compuesto más pequeño es el 4 y no hay ninguno que sea mayor que todos los demás; hay infinitos números compuestos.
La forma más sencilla de demostrar que un número n es compuesto, es encontrar un divisor d comprendido entre 1 y n (1 < d < n). Por ejemplo, 219 es compuesto porque tiene a 3 por divisor. Y también 371 porque tiene a 7 por divisor. Sin embargo, este método deja de ser efectivo para números que son producto de primos grandes. Una buena alternativa es utilizar entonces el pequeño teorema de Fermat, o mejor la generalización de este teorema debida al matemático suizo Leonhard Euler
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